Descarga el PDF aquí

Douglas R. Hofstadter, Autor

En el año de 1931, el matemático austriaco Kurt Gödel demostró, en primer lugar, que si un sistema formal, candidato a reproducir mecánicamente todas las verdades de la teoría de números, se asume consistente, es posible escribir una verdad de dicha teoría cuya traducción formal, así como la traducción de su negación, no podrían derivarse por vías mecánicas. En otras palabras, si el sistema es consistente, se trataría necesariamente de un sistema incompleto, pues habría verdades que no podrían obtenerse mecánicamente.

En segundo lugar, Gödel demostró que la cadena de símbolos que, al ser traducida, afirma la consistencia del sistema no puede derivarse con las herramientas mecánicas que el propio sistema proporciona. Para obtener tal resultado sería necesario acudir a métodos más poderosos que los aportados por el sistema original. En términos aún más breves, Gödel logró establecer que el concepto de verdad es más amplio que el concepto de derivación mecánica. Un computador no puede, entonces, reproducir mecánicamente todas las verdades de la teoría de números.

A partir de estos resultados estrictamente lógicos, Gödel quiso derivar también un par de consecuencias filosóficas. En primer lugar, si existen verdades de la teoría de números que no pueden obtenerse mecánicamente, es necesario que los matemáticos continúen explorándolas mediante métodos en algún sentido análogos a los que emplean los científicos naturales. En consecuencia, podemos imaginar que el matemático es un descubridor de objetos que existen de manera independiente de nuestros procesos y criterios de búsqueda. En otras palabras, el realismo platónico en matemáticas aparece como una propuesta atractiva.

En segundo lugar, si un sistema formal que cobra vida en un mecanismo —podemos pensar en un computador— no puede probar con sus propias herramientas la consistencia del sistema, mientras que nosotros sí podemos contemplar por vías no mecánicas la consistencia de nuestros esquemas de razonamiento matemático, resulta claro que no podemos ser interpretados como un simple acoplamiento ciego de mecanismos. En términos más simples: no podemos ser entendidos como máquinas que operan únicamente en virtud de principios mecánicos.

De ser esto cierto, los teoremas de Gödel implicarían que no es posible construir un sistema mecánico que imite de forma completa nuestros esquemas de razonamiento matemático. Un computador, por ejemplo, no podría advertir las limitaciones que le impone el propio teorema de Gödel.

Douglas Hofstadter ha querido explotar especialmente esta segunda consecuencia en su ya clásico Gödel, Escher y Bach. El libro se divide en dos partes. En la primera, se busca familiarizar al lector con el contexto formal y el alcance estrictamente matemático del teorema de Gödel. En la segunda, el autor conduce al lector hacia las implicaciones que se derivan del teorema en el ámbito de las reflexiones asociadas con los proyectos de investigación en Inteligencia Artificial (IA). Allí se ponen de manifiesto las conexiones entre un resultado complejo de las matemáticas y las preguntas relativas a la conciencia y a la naturaleza de la mente.

En esta tarea, Hofstadter se apoya en cuatro fuentes principales: el estilo ameno y profundo con el que Lewis Carroll aborda problemas asociados con las paradojas lógicas; los recursos pictóricos con los que Escher y Magritte tratan cuestiones relacionadas con la autorrepresentación —como el célebre caso de una mano que sale de su plano para dibujar otra mano que, a su vez, abandona su plano para dibujar la primera—; las exquisitas fugas y sonatas de Bach; y, finalmente, la tradición zen, que le permite al autor abandonar de manera displicente algunas de las preguntas que Occidente se ha formulado en torno a la conciencia.

Douglas Hofstadter nació en Nueva York en 1945. Es hijo del premio Nobel de Física de 1961, Robert Hofstadter. Actualmente es College Professor de ciencia cognitiva, director del Center for Research on Concepts and Cognition y profesor adjunto de filosofía, psicología, historia y filosofía de la ciencia, y literatura comparada en la Universidad de Indiana. Su libro Gödel, Escher y Bach, publicado en 1979 —un año después de la muerte de Kurt Gödel—, obtuvo el Premio Pulitzer en 1980. Durante varios años escribió una columna para la revista Scientific American. Muchos de estos artículos fueron recopilados posteriormente en su libro Metamagical Themas: Questions for the Essence of Mind and Pattern (1985). En la actualidad trabaja en proyectos de investigación orientados a modelar computacionalmente aspectos centrales de la percepción y la creatividad humanas.

Presentamos a continuación la introducción del libro de Hofstadter Gödel, Escher y Bach y la versión que el autor preparó de un famoso diálogo creado por Lewis Carroll. Este diálogo introduce los temas desarrollados en el primer capítulo y sirve para ilustrar la forma amena con la que Hofstadter presenta asuntos que, en muchos casos, alcanzan una profundidad que exige gran atención por parte del lector.

Prof. Carlos Cardona
Director del Departamento de Ciencias Básicas
Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano